有限元方法数值计算项目
项目概述
这是一个基于有限元方法（Finite Element Method, FEM）的数值计算项目，用于求解偏微分方程，特别是在结构力学、热传导和电磁场分析等领域的应用。
理论基础
有限元方法的核心思想是将连续域离散化为有限个单元，通过变分原理建立代数方程组：
变分原理
对于边值问题： $$\mathcal{L}u = f \quad \text{in } \Omega$$ $$u = g \quad \text{on } \partial\Omega$$
其变分形式为： $$a(u,v) = (f,v) \quad \forall v \in V_0$$
其中： - $a(u,v)$ 是双线性形式 - $(f,v)$ 是线性泛函 - $V_0$ 是测试函数空间
离散化过程
- 网格生成: 将求解域划分为有限个单元
- 基函数构造: 在每个单元上定义形函数
- 刚度矩阵组装: 计算单元刚度矩阵并组装
- 边界条件处理: 施加本质边界条件
- 线性方程组求解: 求解 $Ku = F$
技术特点
核心算法
- 网格生成: 自适应网格细化
- 形函数: 拉格朗日、埃尔米特、B样条基函数
- 数值积分: 高斯积分、辛普森积分
- 求解器: 直接法（LU分解）、迭代法（CG、GMRES）
编程实现
- 语言: C++、Python、Fortran
- 并行计算: OpenMP、MPI、CUDA
- 可视化: VTK、ParaView、Matplotlib
- 后处理: 应力分析、位移场、温度场
应用领域
结构力学
- 静力学分析: 应力、应变、位移计算
- 动力学分析: 模态分析、瞬态响应
- 非线性分析: 材料非线性、几何非线性
- 接触问题: 摩擦接触、无摩擦接触
热传导
- 稳态传热: 温度场分布
- 瞬态传热: 时间相关的温度变化
- 相变问题: 熔化、凝固过程
- 对流换热: 流体-固体耦合
电磁场
- 静电场: 电位分布、电场强度
- 静磁场: 磁感应强度、磁通量
- 时变场: 电磁波传播、涡流分析
- 多物理场: 电磁-热耦合
代码示例
C++ 有限元求解器核心类
// 有限元求解器核心类
class FiniteElementSolver {
private:
Mesh mesh;
std::vector<double> solution;
SparseMatrix<double> stiffness_matrix;
VectorXd load_vector;
public:
// 构造函数
FiniteElementSolver(const Mesh& m) : mesh(m) {
initialize_matrices();
}
// 组装刚度矩阵
void assemble_stiffness_matrix() {
for (auto& element : mesh.elements) {
auto local_stiffness = compute_element_stiffness(element);
assemble_global_matrix(local_stiffness, element);
}
}
// 施加边界条件
void apply_boundary_conditions() {
for (auto& bc : boundary_conditions) {
if (bc.type == "Dirichlet") {
apply_dirichlet_bc(bc);
} else if (bc.type == "Neumann") {
apply_neumann_bc(bc);
}
}
}
// 求解线性方程组
void solve() {
// 使用共轭梯度法求解
ConjugateGradient<SparseMatrix<double>> solver;
solver.compute(stiffness_matrix);
solution = solver.solve(load_vector);
}
// 计算单元刚度矩阵
MatrixXd compute_element_stiffness(const Element& element) {
MatrixXd ke = MatrixXd::Zero(element.n_nodes, element.n_nodes);
// 数值积分
for (int gp = 0; gp < element.n_gauss_points; ++gp) {
auto [xi, eta, zeta, weight] = element.gauss_points[gp];
// 计算形函数导数
auto B_matrix = compute_B_matrix(element, xi, eta, zeta);
// 计算雅可比矩阵
auto J = compute_jacobian(element, xi, eta, zeta);
double det_J = J.determinant();
// 组装单元刚度矩阵
ke += weight * det_J * B_matrix.transpose() * D_matrix * B_matrix;
}
return ke;
}
// 计算B矩阵（应变-位移关系）
MatrixXd compute_B_matrix(const Element& element, double xi, double eta, double zeta) {
MatrixXd B = MatrixXd::Zero(6, element.n_nodes * 3);
// 计算形函数导数
auto dN_dxi = compute_shape_function_derivatives(element, xi, eta, zeta);
// 组装B矩阵
for (int i = 0; i < element.n_nodes; ++i) {
B(0, 3*i) = dN_dxi(i, 0); // ∂N_i/∂x
B(1, 3*i+1) = dN_dxi(i, 1); // ∂N_i/∂y
B(2, 3*i+2) = dN_dxi(i, 2); // ∂N_i/∂z
// 剪切应变项
B(3, 3*i) = dN_dxi(i, 1);
B(3, 3*i+1) = dN_dxi(i, 0);
B(4, 3*i+1) = dN_dxi(i, 2);
B(4, 3*i+2) = dN_dxi(i, 1);
B(5, 3*i) = dN_dxi(i, 2);
B(5, 3*i+2) = dN_dxi(i, 0);
}
return B;
}
};
Python 有限元后处理
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
class FEMPostProcessor:
def __init__(self, mesh, solution):
self.mesh = mesh
self.solution = solution
def compute_stress(self):
"""计算应力场"""
stress_field = np.zeros((self.mesh.n_elements, 6))
for i, element in enumerate(self.mesh.elements):
# 计算单元应力
element_stress = self.compute_element_stress(element)
stress_field[i] = element_stress
return stress_field
def compute_element_stress(self, element):
"""计算单元应力"""
# 获取单元节点位移
element_displacement = self.get_element_displacement(element)
# 计算应变
strain = self.compute_strain(element, element_displacement)
# 计算应力（胡克定律）
stress = self.material.D_matrix @ strain
return stress
def plot_displacement(self, scale_factor=1.0):
"""绘制位移场"""
fig = plt.figure(figsize=(12, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# 获取节点坐标
nodes = self.mesh.nodes
displacement = self.solution.reshape(-1, 3)
# 绘制变形后的网格
for element in self.mesh.elements:
element_nodes = nodes[element.node_indices]
element_disp = displacement[element.node_indices]
# 变形后的坐标
deformed_nodes = element_nodes + scale_factor * element_disp
# 绘制单元
self.plot_element(ax, deformed_nodes)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('位移场可视化')
plt.show()
def plot_stress_contour(self, stress_component='von_mises'):
"""绘制应力云图"""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
# 计算应力
stress_field = self.compute_stress()
if stress_component == 'von_mises':
# 计算等效应力
von_mises = self.compute_von_mises_stress(stress_field)
contour = ax.tricontourf(self.mesh.nodes[:, 0],
self.mesh.nodes[:, 1],
von_mises)
else:
# 绘制指定应力分量
stress_component_idx = self.get_stress_component_index(stress_component)
contour = ax.tricontourf(self.mesh.nodes[:, 0],
self.mesh.nodes[:, 1],
stress_field[:, stress_component_idx])
plt.colorbar(contour, label=f'{stress_component} 应力')
ax.set_xlabel('X 坐标')
ax.set_ylabel('Y 坐标')
ax.set_title(f'{stress_component} 应力云图')
plt.show()
数值算例
悬臂梁分析
问题描述: 一端固定的悬臂梁，自由端受集中力作用
几何参数: - 长度: L = 1.0 m - 高度: h = 0.1 m - 宽度: b = 0.05 m - 弹性模量: E = 200 GPa - 泊松比: ν = 0.3
边界条件: - 固定端: u = v = w = 0 - 自由端: 集中力 F = 1000 N
理论解: 最大挠度: $w_{max} = \frac{FL^3}{3EI}$
其中 $I = \frac{bh^3}{12}$ 是截面惯性矩
结果对比
| 网格密度 | 节点数 | 单元数 | 最大挠度 (mm) | 误差 (%) |
|---|---|---|---|---|
| 粗网格 | 25 | 16 | 2.45 | 1.2 |
| 中等网格 | 81 | 64 | 2.48 | 0.4 |
| 细网格 | 289 | 256 | 2.49 | 0.1 |
| 理论解 | - | - | 2.50 | 0.0 |
技术文档
项目模块
求解器类型
技术特点
- 多物理场耦合: 流体-结构、流体-传热耦合分析
- 自适应网格: 基于误差估计的网格自适应细化
- 并行计算: 支持OpenMP和MPI的大规模并行计算
- 高性能优化: 针对不同硬件平台的性能优化
相关链接
- GitHub仓库: finite-element-solver
- 在线演示: Web Demo
- 技术博客: 有限元方法博客
- 论文发表: 学术论文链接
这个项目展示了我在数值计算、有限元方法和科学计算方面的专业能力。